• Corso di Statistica
• Statistica descrittiva ed inferenziale
  Statistica descrittiva. Media. Variabilità. La distribuzione normale. Percentili e quantili. Statistica inferenziale.

   Esercizi n. 1: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

   

• Elementi di Calcolo delle Probabilità
  Eventi e variabili aleatorie. Variabili aleatorie discrete (di Bernoulli, binomiali, di Poisson) e continue (normali, chi quadro, di Student ) e loro proprietà. Probabilità condizionale e indipendenza.

            Esercizi n. 2: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

•  Speranza matematica e varianza. Teoremi di limite, approssimazione normale e di Poisson.

          Esercizi n. 3: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

• Stime
  Media e varianza campionaria. Percentili e quantili. Statistica inferenziale: stime.
• Teoria dei tests
  Teoria generale dei tests: ipotesi e alternativa, regione critica, valore critico, errori di prima e seconda specie, il valore P.
• Test di Student
  Test t di Student bilateri e unilateri. Test sulla media. Disuguaglianza di Bonferroni ed uso del test t per isolare differenze tra gruppi.

   Esercizi n. 5: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

   

• Errori di prima e di seconda specie
  Errore di seconda specie. Potenza di un test. Cosa determina la potenza di un test: la probabilità di fare un errore di prima specie, la differenza che si vuole misurare, la taglia del campione. Problemi pratici relativi alla potenza. Calcolo della potenza con campioni di taglia elevata.

   Esercizi n. 6: testo (file PDF),

   

• Intervalli di confidenza
  Definizione e significato di intervallo di confidenza. Uso degli intervalli di confidenza per test di ipotesi. Intervalli di confidenza per la media.

   Esercizi n. 7: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

   

• Statistica discreta
  Stimare le proporzioni dai campioni. Test di ipotesi per le proporzioni. Analisi delle tabelle di contingenza. Il test chi quadro. Il test chi quadro per più di due gruppi o risultati: suddividere le tabelle di contingenza. Test per un singolo campione. Intervalli di confidenza per proporzioni e per differenze di proporzioni.

  Esercizi n. 8: testo (file PDF),

   

• Regressione lineare
  Il modello lineare. Come stimare i parametri da un campione. Variabilità intorno alla retta di regressione. Errori standard, intervalli di confidenza e test di ipotesi sui coefficienti di regressione. Previsione intorno alla retta di regressione e relativi intervalli di confidenza.

   Esercizi n. 9: testo (file PDF),

   

• Programma del corso:
  • Teoria della misura e probabilità
    Richiami sugli spazi probabilizzati e sulle misure di probabilit\`a. Definizione di sistema di generatori e di base di una $\sigma$-algebra. Criterio di unicit\`a di due misure basato su una base. Spazi prodotto, $\sigma$-algebre prodotto e misure prodotto. Completezza di $\sigma$-algebre. Tribù boreliane di $\R$ e di $\R^n$. Misure di Borel sulla retta reale. Funzioni misurabili e variabili aleatorie. Criterio fondamentale di misurabilit\`a e applicazioni.

     

    Esercizi n. 1: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

     

  • Speranza matematica e integrazione Funzioni misurabili e variabili aleatorie e approssimazione con variabili aleatorie semplici. Speranza di una variabile aleatoria e legame con l'integrale. Misura definita da una densit\`a. Spazi $L^p$, disuguaglianze di Jensen, Cauchy-Schwartz, Markov e Chebichev. Varianza e covarianza. Teoremi di limite. Integrazione rispetto a una misura immagine e speranza di una funzione composta. Applicazioni a variabili aleatorie discrete ed assolutamente continue (rispetto alla misura di Lebesgue).

     

    Esercizi n. 2: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

     

    Esercizi n. 3: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

     

  • Indipendenza
    Criteri di indipendenza fondati su una base e su due basi. Simmetria dell'indipendenza. Indipendenza di eventi e tribù. Indipendenza di una famiglia di variabili aleatorie e indipendenza a due a due. Principio della composizione. Speranza di un prodotto di variabili aleatorie indipendenti.

     

  • Schema delle prove indipendenti
    Costruzione dello schema delle prove indipendenti. Interpretazione dello schema delle prove indipendenti. Esempi: processo di Bernoulli, processo di Poisson.

     

    Esercizi n. 4: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

     

  • Funzione caratteristica
    Integrale di una funzione complessa e speranza di una variabile aleatoria complessa. Funzione caratteristica di una variabile aleatoria e di una legge. Iniettività della funzione caratteristica. Derivabilità di una funzione caratteristica. Funzione caratteristica di un prodotto di convoluzione.

     

  • Convergenze
    Definizione di convergenza debole di leggi. Definizione di convergenza in legge, in probabilità, quasi certa e in $L^p$ di variabili aleatorie. Criteri equivalenti di convergenza debole. Implicazioni tra convergenze. Teorema di Paul Levy. Convergenza debole di leggi concentrate sugli interi.

     

    Esercizi n. 5: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

     

  • Teoremi di limite
    Legge dei grandi numeri per variabili aleatorie non correlate. Legge dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti e isonome. Teorema limite centrale di Lindeberg-Levy. Approssimazione normale. Altri possibili comportamenti asintotici.

     

    Esercizi n. 6: testo (file PDF),

     

     

  • Disintegrazione
    Definizione di disintegrazione. Formula della disintegrazione e concetto di mistura. Formula di Bayes. Identità di Wald. Funzione generatrice della somma di un numero aleatorio di variabili aleatorie.

     

  • Leggi condizionali
    Definizione di legge condizionale. Esistenza e unicità della legge condizionale. Proprietà della legge condizionale. Legge condizionale rispetto a una variabile aleatoria discreta e in presenza di una legge congiunta. Legge condizionale e indipendenza. Legge condizionale di una funzione composta.

     

    Esercizi n. 7: testo e soluzione (file PDF), testo (file PDF),

     

  • Speranza condizionale
    Speranza condizionale in $L^1$, $L^2$, $L^+$. Proprietà. Legami tra leggi condizionali e speranza condizionale.

     

    Esercizi n. 8: testo (file PDF),

     

  • Cenni a martingale e catene di Markov
    Definizioni di processo stocastico, filtrazione, tempo di arresto. Definizione di (super-)(sub-)martingala. Teorema di arresto. Teorema di convergenza. Definizione di nucleo di transizione e di catena di Markov. Classificazione degli stati e misure invarianti.

     

    Esercizi n. 9: testo (file PDF),